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微积分题目及解答大题
发布时间:2024-07-10 12:58

微积分题目及解答大题

一、题目

1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值。

2. 设函数 f(x) = 1/(x^2 1),求 f(x) 的单调区间。

3. 计算 ∫ (si x)/(cos x) dx。

4. 设函数 f(x) = x^2 - 2x,求 f'(x) 并判断单调性。

5. 求函数 y = (1/2)x^2 在点 (1,1/2) 处的切线方程。

二、解答大题

1. 解:首先求出函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的导数,得到 f'(x) = 3x^2 - 6x。令 f'(x) = 0,解得 x = 0 或 x = 2。然后判断导数的符号,当 x < 0 或 x > 2 时,f'(x) > 0,当 0 < x < 2 时,f'(x) < 0。所以,f(x) 在 (-∞, 0) 和 (2, ∞) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减。因此,极小值为 f(0) = 0,极大值为 f(2) = -4。

2. 解:首先求出函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数,得到 f'(x) = -2x/(x^2 1)^2。令 f'(x) > 0,解得 -1 < x < 1;令 f'(x) < 0,解得 x < -1 或 x > 1。因此,f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增,在 (-∞, -1) 和 (1, ∞) 上单调递减。

3. 解:首先对被积函数进行有理化处理,得到原式 = ∫ (si x)/(cos x) dx = ∫ (a x)/cos x d(a x)。然后利用基本积分公式,得到原式 = l|cos x| C。

4. 解:首先求出函数 f(x) = x^2 - 2x 的导数,得到 f'(x) = 2x - 2。令 f'(x) > 0,解得 x > 1;令 f'(x) < 0,解得 x < 1。因此,f(x) 在 (-∞, 1) 上单调递减,在 (1, ∞) 上单调递增。

5. 解:首先求出函数 y = (1/2)x^2 在点 (1,1/2) 处切线的斜率,得到斜率 k = f'(1) = 1。然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1),得到切线方程为 y - 1/2 = x - 1,即 y = x - 1/2。